Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 2315
i

ABCDA1B1C1D1  — пря­мой па­рал­ле­ле­пи­пед, объем ко­то­ро­го равен дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из 7 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Длины сто­рон AB и BC ос­но­ва­ния ABCD равны ко­рень из 7 и ко­рень из 2 со­от­вет­ствен­но, ко­си­нус угла ABC равен минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби . На реб­рах AA1 и A1B1 взяты точки M и N со­от­вет­ствен­но, такие, что AM : MA1  =  4 : 1, A1N : NB1  =  1 : 4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 66 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус фи , где φ  — угол между пря­мы­ми MN и BC1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Так как ко­си­нус угла ABC равен минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , синус этого угла равен дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби . Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 равен

V_ABCDA_1B_1C_1D_1 = BC умно­жить на CD умно­жить на синус \angle BCD умно­жить на CC_1 = ко­рень из 7 умно­жить на ко­рень из 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на CC_1 = дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

от­сю­да CC1  =  2. За­ме­тим, что A1N : A1B1  =  A1M : A1A, сле­до­ва­тель­но, пря­мые MN и AB1 па­рал­лель­ны. Пря­мые AB1 и DC1 также па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, угол между пря­мы­ми MN и BC1 равен углу BC1D. По­лу­ча­ем:

ко­си­нус \angle BCD = минус ко­си­нус \angle ABC = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,

сле­до­ва­тель­но,

BD в квад­ра­те = 7 плюс 2 минус 2 умно­жить на ко­рень из 7 умно­жить на ко­рень из 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = B_1D_1 в квад­ра­те .

Имеем:

BC_1 = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: CC_1 в квад­ра­те плюс BC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 плюс 2 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из 6 ,

DC_1 = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: CC_1 в квад­ра­те плюс CD в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 плюс 7 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та .

При­ме­няя тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке BC1D, по­лу­чим:

ко­си­нус \angle BC_1D = дробь: чис­ли­тель: BC_1 в квад­ра­те плюс DC_1 в квад­ра­те минус BD в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на BC_1 умно­жить на DC_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6 плюс 11 минус дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на ко­рень из 6 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 66 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Тогда

8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 66 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус \angle BC_1D = 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 66 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 66 конец ар­гу­мен­та конец дроби = 46.

Ответ: 46.


Аналоги к заданию № 2315: 2377 Все

Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор стереометрии: 1\.5\. Угол между пря­мы­ми, 3\.9\. Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025